连杆、关节与自由度¶
连杆、关节、自由度是描述机器人结构的三个核心概念。理解它们才能建立后续运动学和动力学模型。
一、关节与连杆¶
1.1 关节类型¶
机器人中最常用的两种基本关节：
- 转动关节（Revolute, R）：绕轴旋转，提供 1 个自由度
- 移动关节（Prismatic, P）：沿轴平移，提供 1 个自由度
其他关节类型
还有球面关节（3 DOF）、圆柱关节（2 DOF）、螺旋关节（1 DOF）等，但工业机器人中绝大多数使用 R 和 P 关节。
1.2 连杆（Link）¶
连杆是连接相邻关节的刚性构件。机器人可以看成由若干连杆通过关节依次连接而成的运动链。
- 固定连杆（Link 0）：机器人的基座，固定不动
- 末端连杆（Link \(n\)）：安装末端执行器的连杆
二、自由度（DOF）¶
自由度（Degrees of Freedom） 是描述机器人运动能力的关键指标：
\[
\text{DOF} = \text{机器人末端在空间中独立运动的参数个数}
\]
对于刚体在三维空间中的运动：
- 位置：3 个自由度（\(x, y, z\)）
- 姿态：3 个自由度（绕三个轴的旋转）
- 总计：6 个自由度
为什么常见 6 轴机器人？
要让末端执行器在三维空间中达到任意位置和任意姿态，至少需要 6 个独立自由度。因此 6 轴关节型机器人是工业中最常见的构型。超过 6 轴的机器人称为冗余机器人，冗余自由度可以用来避障或优化关节配置。
2.1 Grübler-Kutzbach 公式¶
对于平面机构，自由度计算公式为：
\[
F = 3(n - 1) - 2l - h
\]
对于空间机构：
\[
F = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{j}(6-f_i)
\]
其中：
- \(n\)：包含机架在内的构件总数
- \(j\)：关节总数
- \(f_i\)：第 \(i\) 个关节的自由度数
例：平面三连杆机构
构件数 \(n = 4\)（含机架），低副数 \(l = 4\)，高副数 \(h = 0\)：
\[F = 3(4-1) - 2 \times 4 - 0 = 9 - 8 = 1\]
该机构有 1 个自由度。