连杆、关节与自由度¶

连杆、关节、自由度是描述机器人结构的三个核心概念。理解它们才能建立后续运动学和动力学模型。

一、关节与连杆¶

1.1 关节类型¶

机器人中最常用的两种基本关节：

转动关节（Revolute, R）：绕轴旋转，提供 1 个自由度
移动关节（Prismatic, P）：沿轴平移，提供 1 个自由度

其他关节类型

还有球面关节（3 DOF）、圆柱关节（2 DOF）、螺旋关节（1 DOF）等，但工业机器人中绝大多数使用 R 和 P 关节。

1.2 连杆（Link）¶

连杆是连接相邻关节的刚性构件。机器人可以看成由若干连杆通过关节依次连接而成的运动链。

固定连杆（Link 0）：机器人的基座，固定不动
末端连杆（Link \(n\)）：安装末端执行器的连杆

二、URDF：从机械结构到机器人模型¶

URDF（Unified Robot Description Format）是 ROS 中最常用的机器人结构描述格式。它用 XML 描述机器人由哪些 link 和 joint 组成，每个关节怎么连接、转轴在哪里、运动范围是多少，以及每个连杆的几何外形和惯性参数。

URDF 和 DH 参数的关系

DH 参数更适合手算和推导串联机械臂的运动学；URDF 更适合工程项目，因为它同时包含运动学树、可视化模型、碰撞模型和动力学惯量。实际项目中常用 URDF 作为仿真、规划、控制和动力学库的统一输入。

2.1 URDF 的核心结构¶

一个 URDF 文件主要由两类标签组成：

标签	作用	重点关注
`<link>`	描述一个刚体连杆	visual、collision、inertial
`<joint>`	描述两个 link 之间的连接关系	parent、child、origin、axis、limit

最小结构类似这样：

<robot name="seven_dof_arm">
  <link name="base_link"/>

  <link name="upper_arm_link">
    <visual>
      <origin xyz="0 0 0" rpy="0 0 0"/>
      <geometry>
        <mesh filename="package://arm_description/meshes/upper_arm.stl"/>
      </geometry>
    </visual>
    <collision>
      <origin xyz="0 0 0" rpy="0 0 0"/>
      <geometry>
        <mesh filename="package://arm_description/meshes/upper_arm_collision.stl"/>
      </geometry>
    </collision>
    <inertial>
      <origin xyz="0.12 0 0.02" rpy="0 0 0"/>
      <mass value="1.35"/>
      <inertia ixx="0.018" ixy="0" ixz="0" iyy="0.021" iyz="0" izz="0.006"/>
    </inertial>
  </link>

  <joint name="shoulder_pitch_joint" type="revolute">
    <parent link="base_link"/>
    <child link="upper_arm_link"/>
    <origin xyz="0 0 0.18" rpy="0 1.5708 0"/>
    <axis xyz="0 0 1"/>
    <limit lower="-2.0" upper="2.0" effort="45" velocity="3.0"/>
  </joint>
</robot>

2.2 做运动学时重点看哪些参数¶

运动学只关心“关节如何把 link 串起来”，重点看 <joint>：

参数	含义	为什么重要
`type`	关节类型：revolute(带限位的旋转关节)、continuous（不带限位的旋转关节）、prismatic（移动关节）、fixed（固定关节）	决定关节变量是角度、位移还是固定变换
`parent` / `child`	父子连杆	决定运动链方向和 TF 树结构
`origin xyz`	子关节坐标系相对父 link 的平移	决定连杆长度、偏置和末端位置
`origin rpy`	子关节坐标系相对父 link 的旋转	决定关节轴方向和坐标系姿态
`axis xyz`	关节运动轴，在 joint 坐标系中表达	转动/移动方向，直接影响 FK、IK 和雅可比
`limit lower/upper`	关节位置限位	IK 选解、轨迹规划和安全保护必须使用
`mimic`	从动关节关系	夹爪、联动机构中常见

最容易出错的地方

axis xyz 是在 joint 坐标系 中表达的，不一定是世界坐标系。origin rpy 先把 joint 坐标系转过去，轴再在这个坐标系里生效。很多 IK 方向错、雅可比列错，根源都在这里。

以 7 自由度仿人机械臂为例，检查运动学链时可以按这个顺序读：

从 base_link 开始，沿 parent -> child 找到 tool_link
记录每个非 fixed 关节的 name 和 type
读取每个关节的 origin xyz/rpy，确定相邻关节坐标系的相对位姿
读取 axis xyz，确定每个关节的转轴方向
读取 limit lower/upper，作为 IK 和轨迹规划的边界

如果把这些信息按顺序整理出来，就已经可以构建正运动学：

\[ {}^0T_n(q)=T_{\text{joint},1}(q_1)T_{\text{joint},2}(q_2)\cdots T_{\text{joint},n}(q_n) \]

2.3 做动力学时重点看哪些参数¶

动力学除了关节结构，还必须看 <link> 里的 <inertial>：

参数	含义	为什么重要
`mass value`	连杆质量	决定惯性项和重力项
`inertial/origin xyz`	质心相对 link 坐标系的位置	决定重力力矩和耦合项
`inertial/origin rpy`	惯性主轴相对 link 坐标系的姿态	决定惯性张量如何旋转到 link 坐标系
`inertia ixx...izz`	惯性张量	决定加速和转动时需要的力矩
`limit effort`	关节最大力矩/力	用于电机选型和轨迹可行性检查
`limit velocity`	关节最大速度	用于时间参数化和控制限幅
`dynamics damping/friction`	阻尼和摩擦	仿真和低速控制中有用，但常需实验修正

visual、collision、inertial 不要混在一起

visual 是给人看的外观模型，collision 是给碰撞检测用的简化模型，inertial 才是动力学计算用的质量属性。三者的坐标原点可以不同，不能默认它们完全一致。

一个连杆的动力学参数要满足基本物理合理性：

质量必须为正
惯性矩阵应对称正定
质心应落在合理位置，不要远离实体模型
单位必须是 SI：米、千克、弧度、牛米

2.4 读 URDF 的小例子¶

看下面这个关节：

<joint name="elbow_pitch_joint" type="revolute">
  <parent link="upper_arm_link"/>
  <child link="forearm_link"/>
  <origin xyz="0.28 0 0" rpy="0 0 0"/>
  <axis xyz="0 1 0"/>
  <limit lower="-0.2" upper="2.6" effort="38" velocity="3.5"/>
</joint>

可以读出：

信息	解释
父连杆	`upper_arm_link`
子连杆	`forearm_link`
关节位置	相对上臂坐标系沿 \(x\) 方向 0.28 m
关节轴	在 elbow joint 坐标系中绕 \(y\) 轴旋转
关节范围	\([-0.2, 2.6]\) rad
最大力矩	38 N·m
最大速度	3.5 rad/s

对运动学来说，它贡献了一个固定变换和一个绕 \(y\) 轴的转动：

\[ T_{\text{elbow}}(q)=T_{xyz}(0.28,0,0)R_y(q) \]

对动力学来说，还需要去 forearm_link 里找质量、质心和惯性张量，才能知道肘关节加速前臂时需要多大力矩。

2.5 从机械模型导出 URDF 的流程¶

从 SolidWorks、Fusion 360、Onshape 或其他 CAD 模型导出 URDF 时，可以按下面流程做：

整理机械装配
每个会相对运动的刚体整理成一个 link
螺丝、轴承、外壳等固定在一起的零件可以合并到同一个 link
删除过细的倒角、螺纹、装饰细节，避免网格过重
建立坐标系
base_link 坐标系与机器人安装基准一致
每个关节处建立 joint 坐标系，原点放在真实转轴/滑轨中心
joint 的某一轴与真实运动轴对齐，方便写 axis xyz
末端建立 tool0 或 ee_link，作为 IK 和轨迹规划目标
定义关节
确认 parent / child 方向，从基座一路指向末端
写清楚 revolute、prismatic、fixed 等类型
填入关节限位、速度限位、力矩限位
导出网格
visual 可以用较细的 STL/DAE
collision 尽量用简化模型：盒子、圆柱、凸包或低面数 STL
文件路径统一放到 meshes/visual 和 meshes/collision
导出惯性参数
从 CAD 质量属性中导出质量、质心、惯性张量
确认材料密度已经设置正确
确认惯性张量的参考坐标系和 URDF 中 inertial/origin 一致
检查和修正
用 RViz / robot_state_publisher 查看 TF 树和模型姿态
转动每个关节，确认轴方向和正方向正确
用动力学库或仿真器检查质量、惯量是否报错
加入简单轨迹，确认末端运动方向和预期一致

导出后的第一件事

不要急着做 IK。先让每个关节单独从小角度正向转动，观察模型是否绕真实机械轴运动。只要某个 joint 的 origin 或 axis 错了，后面的运动学、雅可比、动力学都会一起错。

2.6 URDF 与 Xacro¶

复杂机器人通常不用纯 URDF 手写，而是用 Xacro 生成 URDF。Xacro 支持变量、宏和文件拆分，适合 7 自由度机械臂这种重复结构：

<xacro:property name="upper_arm_length" value="0.28"/>

<xacro:macro name="revolute_joint" params="name parent child xyz axis lower upper effort velocity">
  <joint name="${name}" type="revolute">
    <parent link="${parent}"/>
    <child link="${child}"/>
    <origin xyz="${xyz}" rpy="0 0 0"/>
    <axis xyz="${axis}"/>
    <limit lower="${lower}" upper="${upper}" effort="${effort}" velocity="${velocity}"/>
  </joint>
</xacro:macro>

工程中建议：

文件	内容
`arm.urdf.xacro`	主入口，组织所有 link 和 joint
`links.xacro`	连杆、visual、collision、inertial
`joints.xacro`	关节定义和限位
`materials.xacro`	颜色和材质
`transmission.xacro`	ros_control 或仿真需要的传动配置

三、自由度（DOF）¶

自由度（Degrees of Freedom） 是描述机器人运动能力的关键指标：

\[ \text{DOF} = \text{机器人末端在空间中独立运动的参数个数} \]

对于刚体在三维空间中的运动：

位置：3 个自由度（\(x, y, z\)）
姿态：3 个自由度（绕三个轴的旋转）
总计：6 个自由度

为什么常见 6 轴机器人？

要让末端执行器在三维空间中达到任意位置和任意姿态，至少需要 6 个独立自由度。因此 6 轴关节型机器人是工业中最常见的构型。超过 6 轴的机器人称为冗余机器人，冗余自由度可以用来避障或优化关节配置。

3.1 Grübler-Kutzbach 公式¶

对于平面机构，自由度计算公式为：

\[ F = 3(n - 1) - 2l - h \]

对于空间机构：

\[ F = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{j}(6-f_i) \]

其中：

\(n\)：包含机架在内的构件总数
\(j\)：关节总数
\(f_i\)：第 \(i\) 个关节的自由度数

例：平面三连杆机构

构件数 \(n = 4\)（含机架），低副数 \(l = 4\)，高副数 \(h = 0\)：

\[F = 3(4-1) - 2 \times 4 - 0 = 9 - 8 = 1\]

该机构有 1 个自由度。